Henri Poincaré (1854-1912) est un mathématicien, physicien théoricien et philosophe des sciences. Il a particulièrement analysé le rôle de l’inconscient dans l’invention mathématique.

ll a décrit le rôle de l’inconscient qu’il appelle « moi subliminal », dans le processus psychologique qui l’a conduit à la découverte des groupes fuchsiens.

Henri Poincaré

« Depuis quinze jours, je m’efforçais de démontrer qu’il ne pouvait exister aucune fonction analogue à ce que j’ai appelé depuis les fonctions fuchsiennes ; j’étais alors fort ignorant ; tous les jours, je m’asseyais à ma table de travail, j’y passais une heure ou deux, j’essayais un grand nombre de combinaisons et je n’arrivais à aucun résultat.

Un soir, je pris du café noir contrairement à mon habitude ; je ne pus m’endormir ; les idées surgissaient en foule ; je les sentais comme se heurter, jusqu’à ce que deux d’entre elles s’accrochassent pour ainsi dire, pour former une combinaison stable.

Le matin j’avais établi l’existence d’une classe de fonctions fuchsiennes, celles qui dérivent de la série hypergéométrique ; je n’eus plus qu’à rédiger les résultats, ce qui ne me prit que quelques heures.

Je voulus ensuite représenter ces fonctions par le quotient de deux séries ; cette idée fut parfaitement consciente et réfléchie ; l’analogie avec les fonctions elliptiques me guidait.

Je me demandai quelles devaient être les propriétés de ces séries si elles existaient, et j’arrivai sans difficulté à former les séries que j’ai appelées thétafuchsiennes.

A ce moment, je quittais Caen, où j’habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l’Ecole des Mines.

Les péripéties du voyage me firent oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l’idée me vînt, sans que rien dans mes pensées antérieures ne parût m’y avoir préparé, que les transformations dont j’avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non-euclidienne.

Je ne fis pas la vérification ; je n’en aurais pas eu le temps puisque, à peine assis dans l’omnibus, je repris la conversation commencée ; mais j’eus tout de suite une entière certitude. De retour à Caen, je vérifiai le résultat à tête reposée pour l’acquit de ma conscience.»

Poincaré poursuit ses travaux, mais sans résultat, malgré ses efforts :

« Dégoûté de mon insuccès, j’allais passer quelques jours au bord de la mer, et je pensai à tout autre chose. Un jour, en me promenant sur une falaise, l’idée me vint, toujours avec les mêmes caractères de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate, que les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies, sont identiques à celles de la Géométrie non euclidienne. »

A nouveau, une période d’intensif travail conscient ne lui permet pas d’aboutir à de nouveaux progrès :

« Là-dessus, je partis pour le Mont Valérien, où je devais faire mon service militaire ; j’eus donc des préoccupations très différentes. Un jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m’avait arrêté m’apparut tout à coup. Je ne cherchais pas à l’approfondir immédiatement, et ce fut seulement après mon service que je repris la question. J’avais tous les éléments, je n’avais qu’à les rassembler et à les ordonner. Je rédigeai donc mon Mémoire définitif d’un trait et sans aucune peine. »

Poincaré précise que ce processus de réflexion est général et confirmé par d’autres mathématiciens. Il conclut à l’existence de deux « Mois » : le Moi conscient et le Moi subliminal.

Il précise à propos de ce dernier :

« Le moi subliminal n’est nullement inférieur au moi conscient ; il n’est pas purement automatique, il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ; il sait choisir, il sait deviner. Que dis-je ? Il sait mieux deviner que le moi conscient, puisqu’il réussit là où celui-ci avait échoué. En un mot, le moi subliminal n’est-il pas supérieur au moi conscient ? » (1)

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(1) Henri Poincaré « Science et Méthode » Editions Flammarion  1908  (pages 27 à 30)